Question

18．已知二次函數(shù)y=x²-2（k+1）x+k²-2k-3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k取最小的整數(shù)時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（3）將（2）中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象．請你畫出這個(gè)新圖象，并求出新圖象與直線y=x+m有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知△＞0，從而可求得k的取值范圍；
（2）先求得k的最小整數(shù)值，從而可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）先根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖形，然后結(jié)合圖形找出拋物線與x軸有三個(gè)交點(diǎn)的情形，最后求得直線的解析式，從而可求得m的值．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=4（k+1）²-4（k²-2k-3）=16k+16＞0．
∴k＞-1．
∴k的取值范圍為k＞-1．
（2）∵k＞-1，且k取最小的整數(shù)，
∴k=0．
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4．
（3）翻折后所得新圖象如圖所示．

平移直線y=x+m知：直線位于l₁和l₂時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．
①當(dāng)直線位于l₁時(shí)，此時(shí)l₁過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1． 
②∵當(dāng)直線位于l₂時(shí)，此時(shí)l₂與函數(shù)y=-x²+2x+3（-1≤x≤3）的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)
∴方程x+m=-x²+2x+3，即x²-x-3+m=0有兩個(gè)相等實(shí)根．
∴△=1-4（m-3）=0，即$m=\frac{13}{4}$．
綜上所述，m的值為1或$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意畫出如圖，找出新圖象與直線y=x+m有三個(gè)不同公共點(diǎn)的條件是解題的關(guān)鍵．