Question

10．菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AB、CD所在的直線于點F、E．
（1）當點F、E分別在線段AB和CD上時，如圖①，易證BF+CE=BC（不需征明）
（2）當點F、E分別在線段BA和CD的延長線上時．如圖②：當點F、E分別在線段AB和CD的延長線上時，如圖③，線段BF、CE和BC又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇其中一種情況給予證明．

Answer 1

分析 （2）如圖②中，結論：BF-CE=BC，只要證明△ODE≌△PBF即可解決問題．如圖③中結論：CE-BF=BC．證明方法類似．

解答 解：（2）如圖②中，結論：BF-CE=BC．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AB∥CD，OD=OB，
∴∠E=∠F
在△ODE和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠DOE=∠BOF}\\{DO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△PBF，
∴DE=BF
∴CE=AF，
∴BF-CE=BF-AF=AB=BC，
即BF-CE=BC．

如圖③中結論：CE-BF=BC．
證明：：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AB∥CD，OD=OB，
∴∠E=∠F
在△ODE和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠DOE=∠BOF}\\{DO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△PBF，
∴DE=BF
∴CE-BF=CE-DE=CD=BC，
即CE-BF=BC．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．