Question

如圖，梯形OABC，AB∥OC，∠B=90°，BC=2，底邊OC與x軸重合，點D為BC的中點，且AD⊥OD．
（1）求證：△ABD∽△DCO；
（2）若雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過點A和點D，求k的值．

Answer 1

解：（1）證明：∵AB∥OC，∠B=90°，
∴∠B=∠DCO=90°，∠1+∠2=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△ABO∽△DCO

（2）解：過點A作AE⊥OC于點E，則四邊形AECB是矩形，
∴AE=BC=2，AB=EC
∵點D為BC的中點，
∴BD=CD=BC=1
∴A、D兩點的縱坐標(biāo)分別為2和1，
∵點A和點D都在雙曲線上，
∴點A、點D的橫坐標(biāo)分別為和k，
∴OE=，OC=k，
∴AB=EC=OC-OE=
∵△ABD∽△DCO
∴
∴AB•CO=DC•BD
即：•k=1×1
解得：k=±
∵雙曲線在第一象限，
∴k=．
分析：（1）在兩個直角三角形中證得除去直角外相等的任意一對角相等即可證得兩個直角三角形相似．
（2）首先求得A、D兩點的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點均在雙曲線上表示出其橫坐標(biāo)，然后利用上題證得的兩三角形相似列出比例式即可得到有關(guān)k的方程求得k值即可．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識及相似三角形的知識，在代數(shù)知識中滲透幾何知識是中考的熱點考題之一，需要有很強的能力才行．