Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax，其中為常數(shù)且a＜0．

（1）若函數(shù)y＝ax2﹣4ax的圖象經(jīng)過點（2，4），求此函數(shù)表達式；

（2）若拋物線y＝ax2﹣4ax的頂點在雙曲線上，試說明k的符號；

（3）已知（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），（0＜m＜1）都是拋物線y＝ax2﹣4ax（a＜0）上的點，請判斷y1，y2，y3的大小，并說明理由﹒

Answer 1

【答案】（1）此函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+4x；（2）k＞0，見解析；（3）當(dāng)0＜m＜時，2﹣m＞m+1，y3＞y2＞y1；當(dāng)m＝時，y3＝y2＞y1；當(dāng)＜m＜1時，m+1＞2﹣m＞m，y2＞y3＞y1；理由見解析

【解析】

（1）把點（2，4）代入y＝ax2﹣4ax中，可得a的值，由此得函數(shù)表達式；

（2）將拋物線的解析式配方后可得頂點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，可得k的符號；

（3）根據(jù)拋物線對稱軸和開口方向可得增減性，根據(jù)0＜m＜1，可確定m和m+1在對稱軸的左側(cè)，m+2在對稱軸的右側(cè)，根據(jù)對稱性和增減性可得結(jié)論．

解：（1）把點（2，4）代入y＝ax2﹣4ax中得：

4a﹣8a＝4，

a＝﹣1，

∴此函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+4x；

（2）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x+4﹣4）＝a（x﹣2）2﹣4a，

∴頂點（2，﹣4a），

∵頂點在雙曲線上，

∴k＝2×（﹣4a）＝﹣8a，

∵a＜0，

∴k＞0；

（3）∵a＜0

∴拋物線開口向下，

∵拋物線對稱軸是x＝2，

∴當(dāng)m＜2時，y隨x的增大而增大，且x＝m+2與x＝2﹣m對稱，

∵m＜m+1＜2，

∴y1＜y2，

（2﹣m）﹣（m+1）＝1﹣2m，

當(dāng)0＜m＜時，2﹣m＞m+1，y3＞y2＞y1，

當(dāng)m＝時，y3＝y2＞y1；

當(dāng)＜m＜1時，m+1＞2﹣m＞m，y2＞y3＞y1．