Question

【題目】已知：如圖①，在ABCD中，O為對角線BD的中點．過O的直線MN交直線AB于點M，交直線CD于點N；過O的另一條直線PQ交直線AD于點P，交直線BC于點Q，連接PN、MQ．

（1）試證明△PON與△QOM全等；

（2）若點O為直線BD上任意一點，其他條件不變，則△PON與△QOM又有怎樣的關系？試就點O在圖②所示的位置，畫出圖形，證明你的猜想；

（3）若點O為直線BD上任意一點（不與點B、D重合），設OD：OB＝k，PN＝x，MQ＝y，則y與x之間的函數(shù)關系式為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質容易得到全等條件證明△DOP≌△BOQ，△PON≌△QOM，然后利用全等三角形的性質得到PO=QO，MO=NO，然后再證明△PON≌△QOM就可以解決問題；
（2）點O為直線BD上任意一點，則△MOQ∽△NOP．根據AP∥BQ，BM∥CN可以得到比例線段，而∠NOP=∠MOQ，可以證明△MOQ∽△NOP了；
（3）根據（2）和已知可以得到==，根據這個等式可以求出y與x之間的函數(shù)關系式．

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠PDO＝∠QBO．

∵∠DOP＝∠BOQ，DO＝BO，

∴△DOP≌△BOQ．

∴PO＝QO．

同理MO＝NO．

∵∠PON＝∠QOM，

∴△PON≌△QOM．

（2）解：畫圖如圖所示．

△MOQ∽△NOP．

∵AP∥BQ，BM∥CN，

∴OD：OB＝OP：OQ，OD：OB＝ON：OM．

∴OP：OQ＝ON：OM．

∴∠NOP＝∠MOQ．

∴△MOQ∽△NOP．

（3）解：根據（2）和已知可以得到==，

∵OD：OB＝k，PN＝x，MQ＝y，

∴y＝．