Question

【題目】如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．

（1）求拋物線的表達式；

（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；

（3）若拋物線上有一動點M，使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點坐標．

（4）拋物線的對稱軸上是否存在動點Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點M的坐標為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；點Q的坐標為（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．

【解析】

（1）由點A，D的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，連接BD，交拋物線的對稱軸于點P，由拋物線的對稱性及兩點之間線段最短可得出此時PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長度，再由點B，D的坐標，利用兩點間的距離公式可求出PA+PD的最小值；

（3）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，設點M的坐標為（x，x2+2x-3），由△ABM的面積等于△ABC的面積可得出關于x的一元二次方程，解之即可求出點M的坐標；

（4）設點Q的坐標為（-1，m），結(jié)合點B，C的坐標可得出CQ2，BQ2，BC2，分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三種情況，找出關于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出點Q的坐標．

解：（1）將A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3．

（2）當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴點B的坐標為（1，0）．

連接BD，交拋物線的對稱軸于點P，如圖1所示．

∵PA＝PB，

∴此時PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長度．

∵點B的坐標為（1，0），點D的坐標為（﹣2，﹣3），

∴BD＝＝3，

∴PA+PD的最小值為3．

（3）當x＝0時，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3）．

設點M的坐標為（x，x2+2x﹣3）．

∵S△ABM＝S△ABC，

∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，

解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），

∴點M的坐標為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）．

（4）設點Q的坐標為（﹣1，m）．

∵點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，﹣3），

∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．

分三種情況考慮（如圖2所示）：

①當BQ＝BC時，m2+4＝10，

解得：m1＝，m2＝﹣，

∴點Q1的坐標為（﹣1，），點Q2的坐標為（﹣1，﹣）；

②當CQ＝CB時，m2+6m+10＝10，

解得：m3＝0，m4＝﹣6，

∴點Q3的坐標為（﹣1，0），點Q4的坐標為（﹣1，﹣6）；

③當QB＝QC時，m2+4＝m2+6m+10，

解得：m5＝﹣1，

∴點Q5的坐標為（﹣1，﹣1）．

綜上所述：拋物線的對稱軸上存在動點Q，使得△BCQ為等腰三角形，點Q的坐標為（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．