Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinA=$\frac{3}{5}$，動點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，過點(diǎn)D作AB的垂線，交折線AC-CB于點(diǎn)E，以DE為直角邊向右作等腰直角三角形DEF，∠DEF=90°，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（秒），△DEF與△ABC重疊部分的面積為S（平方單位）．
（1）求BC的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，求t的值；
（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）動點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，過點(diǎn)G作AC的平行線l，若點(diǎn)D、G同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動，當(dāng)t為何值時(shí)，直線l經(jīng)過△DEF三邊中一邊的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造直角三角形，用三角函數(shù)計(jì)算出CG，再用勾股定理計(jì)算即可；
（2）由題意用CE=FE建立方程即可；
（3）分三種情況用面積和差進(jìn)行計(jì)算即可，
（4）分三種情況過DE 的中點(diǎn)，過DF中點(diǎn)，過EF中點(diǎn)，用三角函數(shù)計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖，

過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，
∵在△ABC中，AB=AC=10，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴CG=AC•sinA=6，
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=8，
∴BG=AB-AG=2，
∴BC=$\sqrt{C{G}^{2}+B{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；
（2）當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，CE=FE，
∴$\frac{3}{4}$t=10-$\frac{5}{4}$t，
解得：t=5；
（3）當(dāng)0＜t＜≤5時(shí)，如圖，

AD=t，DE=$\frac{3}{4}$t，
∴S=S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$（\frac{3}{4}t）^{2}$=$\frac{9}{32}{t}^{2}$，
當(dāng)5＜t＜≤8時(shí)，如圖2，

EF=DE=$\frac{3}{4}t$，GF=$\frac{3}{4}$t-（10-t），HM=[$\frac{3}{4}$t-（10-t）]×$\frac{3}{4}$，
∴S=S_△DEF-S_△FGH=$\frac{9}{32}{t}^{2}-\frac{1}{2}[\frac{3}{4}t-（10-\frac{5}{4}t）]^{2}×\frac{3}{4}$=-$\frac{39}{32}{t}^{2}+15t-\frac{75}{2}$
當(dāng)8＜t＜≤10時(shí)，如圖3，

DE=3（10-t），HM=（10-t）×$\frac{3}{4}$
∴S=S_△DEH=$\frac{1}{2}$×3×（10-t）（10-t）×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{8}{t}^{2}-\frac{45}{2}t+\frac{225}{2}$，
（4）∵直線l經(jīng)過△DEF三邊中一邊的中點(diǎn)，
當(dāng)直線l經(jīng)過DF的中點(diǎn)時(shí)，$\frac{\frac{3}{8}t}{\frac{3}{8}t+（2t-10）}=\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{16}{3}$
當(dāng)直線l經(jīng)過DE的中點(diǎn)時(shí)，$\frac{\frac{3}{8}t}{2t-10}$=$\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{20}{3}$
當(dāng)直線l經(jīng)過EF的中點(diǎn)時(shí)，$\frac{3}{8}t=10-t$，
∴t=$\frac{80}{11}$．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是畫出圖形，用沒面積的和差是解本題的難點(diǎn)．