分析 (1)把A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a、b、c的值即可;
(2)如圖,過(guò)A作x軸的垂直,垂足為E(1,0),連接ED、DB,過(guò)D作DF⊥AE,DG⊥x軸,垂足分別為F,G,分別表示出三角形ACE,三角形ADE,以及三角形BDE的面積,之和即為S,確定出S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求出x的范圍,利用二次函數(shù)性質(zhì)即可確定出S的最大值,以及此時(shí)x的值;
(3)由于AC確定,得到點(diǎn)E與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入拋物線的解析式,就可得到滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo).
解答 解:(1)把點(diǎn)A(1,4)與B(5,0),C(-1,0)代入y=ax2+bx+c得:{a+b+c=425a+5b+c=0a−b+c=0,
解得:{a=−12b=2c=52,
∴該二次函數(shù)的解析式為:y=-12x2+2x+52;
(2)如圖1,過(guò)A作x軸的垂直,垂足為E(1,0),連接ED、DB,過(guò)D作DF⊥AE,DG⊥x軸,垂足分別為F,G,
S△ACE=12CE•AE=12×2×4=4;
S△ADE=12AE•DF=12×4×(x-1)=2x-2;
S△BDE=12BE•DG=12×4×(-12x2+2x+52)=-x2+4x+5,
則S=S△ACE+S△ADE+S△BDE=4+2x-2-x2+4x+5=-x2+6x+7,
∴S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為S=-x2+6x+7(1<x<5),
∵S=-x2+6x+7=-(x-3)2+16,
∴當(dāng)x=3時(shí),四邊形OACB的面積S有最大值,最大值為16;
(3)∵AC為平行四邊形的一邊,則AC∥EF,AE∥CF,A,E到x軸的距離相等,
∴|yE|=|yA|=4,
∴yE=±4.
當(dāng)yE=4時(shí),解方程-12x2+2x+52=4得,
x1=1,x2=3,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,4);
當(dāng)yE=-4時(shí),解方程-12x2+2x+52=-4得,
x1=2-√17,x2=2+√17,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2-√17,-4),(2+√17,-4).
點(diǎn)評(píng) 本題屬于二次函數(shù)綜合題,主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線及拋物線的解析式、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)、拋物線的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用,運(yùn)用割補(bǔ)法及配方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,解題時(shí)注意運(yùn)用分類討論的思想.
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