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4.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4)與B(5,0),C(-1,0).
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象上A,B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn),橫坐標(biāo)為x(1<x<5),寫出四邊形ABCD的面積S關(guān)于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式,并求S的最大值;
(3)點(diǎn)E是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn),點(diǎn)E是x軸上的點(diǎn),如果以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為一邊的平行四邊形,直接寫出E的坐標(biāo).

分析 (1)把A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a、b、c的值即可;
(2)如圖,過(guò)A作x軸的垂直,垂足為E(1,0),連接ED、DB,過(guò)D作DF⊥AE,DG⊥x軸,垂足分別為F,G,分別表示出三角形ACE,三角形ADE,以及三角形BDE的面積,之和即為S,確定出S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求出x的范圍,利用二次函數(shù)性質(zhì)即可確定出S的最大值,以及此時(shí)x的值;
(3)由于AC確定,得到點(diǎn)E與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入拋物線的解析式,就可得到滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo).

解答 解:(1)把點(diǎn)A(1,4)與B(5,0),C(-1,0)代入y=ax2+bx+c得:{a+b+c=425a+5b+c=0ab+c=0
解得:{a=12b=2c=52,
∴該二次函數(shù)的解析式為:y=-12x2+2x+52;
(2)如圖1,過(guò)A作x軸的垂直,垂足為E(1,0),連接ED、DB,過(guò)D作DF⊥AE,DG⊥x軸,垂足分別為F,G,
S△ACE=12CE•AE=12×2×4=4;
S△ADE=12AE•DF=12×4×(x-1)=2x-2;
S△BDE=12BE•DG=12×4×(-12x2+2x+52)=-x2+4x+5,
則S=S△ACE+S△ADE+S△BDE=4+2x-2-x2+4x+5=-x2+6x+7,
∴S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為S=-x2+6x+7(1<x<5),
∵S=-x2+6x+7=-(x-3)2+16,
∴當(dāng)x=3時(shí),四邊形OACB的面積S有最大值,最大值為16;
(3)∵AC為平行四邊形的一邊,則AC∥EF,AE∥CF,A,E到x軸的距離相等,
∴|yE|=|yA|=4,
∴yE=±4.
當(dāng)yE=4時(shí),解方程-12x2+2x+52=4得,
x1=1,x2=3,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,4);
當(dāng)yE=-4時(shí),解方程-12x2+2x+52=-4得,
x1=2-17,x2=2+17
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2-17,-4),(2+17,-4).

點(diǎn)評(píng) 本題屬于二次函數(shù)綜合題,主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線及拋物線的解析式、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)、拋物線的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用,運(yùn)用割補(bǔ)法及配方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,解題時(shí)注意運(yùn)用分類討論的思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.計(jì)算:
(1)(1+3)(2-3)           
(2)(92-83)×22
(3)18-8+18                   
(4)(6-215)×3-612

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15.如圖,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB上一點(diǎn).
(1)求證:△ACE≌△BCD
(2)求證:AD2+BD2=DE2

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12.如圖,點(diǎn)E在直線DF上,點(diǎn)B在直線AC上,若∠1=∠2,∠3=∠4,求證:∠A=∠F 
解:∵∠1=∠2(已知)
∠2=∠DGF (對(duì)頂角相等)
∴∠1=∠DGF  ( 等量代換  )
∴BD∥CE (同位角相等,兩直線平行)
∴∠3+∠C=180°  (兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))
又∵∠3=∠4(已知)
∴∠4+∠C=180°
∴AC∥DF(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行)
∴∠A=∠F   (兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

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19.一名同學(xué)計(jì)劃騎自行車30千米參觀博物館,因情況變化改騎摩托車,且騎摩托車的速度是騎自行車速度的2.5倍,才能按要求提前1小時(shí)到達(dá),求這位同學(xué)騎摩托車的速度.

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5.如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形,則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn),例如:矩形ABCD中,點(diǎn)C與A,B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC,則稱點(diǎn)C為A,B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn),同樣,點(diǎn)D也是A,B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn).如圖,矩形ABCD中,請(qǐng)?jiān)谶匔D上作出A,B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)(點(diǎn)C和點(diǎn)D除外)(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法).

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12.已知代數(shù)式A=6x+4y-5,B=2(x+y)+(x-3).
(1)當(dāng)x=y=-2時(shí),求A-B的值;
(2)請(qǐng)問(wèn)A-2B的值與x、y的取值是否有關(guān),試說(shuō)明理由.

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9.已知Rt△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合),以AD為邊作Rt△ADE,AD=AE,∠ADE=∠AED=45°,連接CF.

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題
如圖①,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí).
①請(qǐng)寫出BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD=CE,位置關(guān)系為BD⊥CE;
②求證:CE+CD=BC
(2)嘗試探究
如圖②,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí),(1)中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)寫出新的數(shù)量關(guān)系,不證明.
(3)拓展延伸
如圖③,當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí),若BC=6,CE=2,求線段CD的長(zhǎng).

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10.關(guān)于x的方程x2+m3=x-4與12(x-16)=-6的解相同,求m的值.

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