Question

【題目】已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對(duì)角線AC平分∠DCB，延長(zhǎng)DA，CB相交于點(diǎn)E．
（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；

（2）如圖2，連接OE，過(guò)點(diǎn)E作直線EF，使得∠OEF=30°，當(dāng)∠ACE≥30°時(shí)，判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵對(duì)角線AC平分∠DCB，

∴∠ACD=∠ACB，

∴=，

∴AD=AB，

∵EB=AD，

∴AB=EB，

∵∠EBA=∠ADC=90°，

∴△ABE是等腰直角三角形

（2）

解：直線EF與⊙O相離．理由如下：

∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ABC，

∵∠ACE≥30°，

∴60°≤∠DCE＜90°，

∴∠AEC≤30°，

∴AE≥AC，

∵OE＞AE，

∴OE＞AC，

作OH⊥EF于H，如圖，

在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，

∴OH=OE，

∴OH＞OA，

∴直線EF與⊙O相離．

【解析】（1）由∠ACD=∠ABC得到，則AD=AB，加上EB=AD，則AB=EB，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判斷△ABE是等腰直角三角形
（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，則60°≤∠DCE＜90°，根據(jù)三角形邊角關(guān)系得AE≥AC，而OE＞AE，所以O(shè)E＞AC，作OH⊥EF于H，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OH=OE，所以O(shè)H＞OA，則根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷直線EF與⊙O相離．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．