【題目】如圖,已知AB為⊙O直徑,D是 的中點(diǎn),DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E,⊙O的切線交AD的延長(zhǎng)線于F.
(1)求證:直線DE與⊙O相切;
(2)已知DG⊥AB且DE=4,⊙O的半徑為5,求tan∠F的值.
【答案】
(1)證明:連接OD,BC,
∵D是弧BC的中點(diǎn),
∴OD垂直平分BC,
∵AB為⊙O的直徑,
∴AC⊥BC,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD為⊙O的半徑,
∴DE是⊙O的切線;
(2)解:∵D是弧BC的中點(diǎn),
∴ = ,
∴∠EAD=∠BAD,
∵DE⊥AC,DG⊥AB且DE=4,
∴DE=DG=4,
∵DO=5,
∴GO=3,
∴AG=8,
∴tan∠ADG= =2,
∵BF是⊙O的切線,
∴∠ABF=90°,
∴DG∥BF,
∴tan∠F=tan∠ADG=2.
【解析】(1)連接BC、OD,由D是弧BC的中點(diǎn),由垂徑定理可得OD⊥BC;再直徑所對(duì)的圓周角為直角得到BC⊥AC,再證得OD⊥DE,即可得到DE是⊙O的切線;
(2)直接利用勾股定理得出GO的長(zhǎng),再利用切線判定得到BF是⊙O的切線得到DG∥BF,再用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tan∠F的值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解垂徑定理的相關(guān)知識(shí),掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧,以及對(duì)解直角三角形的理解,了解解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=20°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC;
(1)求∠MON;
(2)∠AOB=α,∠BOC=β,求∠MON的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P以每秒2㎝的速度沿圖甲的邊框按從的路徑移動(dòng),相應(yīng)的△ABP的面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖乙.若AB=6,試回答下列問題:
(1)圖甲中的BC長(zhǎng)是多少?
(2)圖乙中的a是多少?
(3)圖甲中的圖形面積的多少?
(4)圖乙的b是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把一個(gè)圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對(duì)稱變換,再沿著與這條直線平行的方向平移,我們把這樣的圖形變換叫做滑動(dòng)對(duì)稱變換.結(jié)合軸對(duì)稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì),你認(rèn)為在滑動(dòng)對(duì)稱變換過程中,這兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形(如圖)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是( ).
A. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都相等 B. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸平分
C. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直 D. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線互相平行
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為提倡節(jié)約用水,準(zhǔn)備實(shí)行自來水“階梯計(jì)費(fèi)”方式,用戶用水不超出基本用水量的部分享受基本價(jià)格,超出基本用水量的部分實(shí)行超價(jià)收費(fèi),為更好地決策,自來水公司的隨機(jī)抽取了部分用戶的用水量數(shù)據(jù),并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖,(每組數(shù)據(jù)包括在右端點(diǎn)但不包括左端點(diǎn)),請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查的樣本容量是 .
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖,求扇形圖中“15噸~20噸”部分的圓心角的度數(shù).
(3)如果自來水公司將基本用水量定為每戶25噸,那么該地區(qū)6萬用戶中約有多少用戶的用水全部享受基本價(jià)格?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,D為AB邊上任意一點(diǎn),DF∥AC交BC于F,AE∥BC,∠CDE=∠ABC=∠ACB=α.
(1)如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),求證:△DCE是等邊三角形.
(2)如圖2.當(dāng)α=45°時(shí),求證:① = ;②CE⊥DE.
(3)如圖3,當(dāng)α為任意銳角時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CE與DE的數(shù)量關(guān)系(用α表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題原型)
如圖①,AB∥CD,點(diǎn)M在直線AB、CD之間,則∠M=∠B+∠D,小明解決上述問題的過程如下:
如圖②,過點(diǎn)M作MN∥AB
則∠B=_______(_______)
∵AB∥CD,(已知)
MN∥AB(輔助線的做法)
∴MN∥CD(______)
∴∠______=∠D(______)
∴∠B+∠D=∠BMD
請(qǐng)完成小明上面的過程.
(問題遷移)
如圖③,AB∥CD,點(diǎn)M與直線CD分別在AB的兩側(cè),猜想∠M、∠B、∠D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并加以說明.
(推廣應(yīng)用)
(1)如圖④,AB∥CD,點(diǎn)M在直線AB、CD之間,∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點(diǎn)N,∠M=96°,則∠N=_____°;
(2)如圖⑤,AB∥CD,點(diǎn)M與直線CD分別在AB的兩側(cè),∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點(diǎn)N,∠N=25°,則∠M=______°;
(3)如圖⑥,AB∥CD,∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)M,∠G=78°,∠F=64°,∠E=64°,則∠M=_______°.
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