Question

【題目】如圖，已知E是ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F.

(1)求證：△ABE≌△FCE.

(2)連接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由ABCD為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到AB與DC平行，根據兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，由E為BC的中點，得到兩條線段相等，再由對應角相等，利用ASA可得出三角形ABE與三角形FCE全等；

（2）由△ABE與△FCE全等，根據全等三角形的對應邊相等得到AB=CF；再由AB與CF平行，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABFC為平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC為三角形ABE的外角，利用外角的性質得到∠AEC等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角對等邊可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用對角線相等的平行四邊形為矩形可得出ABFC為矩形．

證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥DC，

∴∠ABE=∠ECF，

又∵E為BC的中點，

∴BE=CE，

在△ABE和△FCE中，

∵ ，

∴△ABE≌△FCE(ASA)；

(2)∵△ABE≌△FCE，

∴AB=CF，

又∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CF，

∴四邊形ABFC為平行四邊形，

∴BE=EC，AE=EF，

又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC為△ABE的外角，

∴∠AEC=∠ABC+∠EAB，

∴∠ABC=∠EAB，

∴AE=BE，

∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC，

則四邊形ABFC為矩形.