Question

13．如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，點E為⊙G上一動點，CF⊥AE于F，當(dāng)點E從B點出發(fā)順時針運動到D點時，點F經(jīng)過的路徑長為$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．

Answer 1

分析 連接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂徑定理得到O為AB的中點，由G的坐標(biāo)確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AG與OG的長，利用勾股定理求出AO的長，進(jìn)而確定出AB的長，由CG+GO求出OC的長，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當(dāng)E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當(dāng)E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，可得出當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長$\widehat{AO}$，在直角三角形ACO中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACO的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出$\widehat{AO}$的長．

解答 解：連接AC，AG，
∵GO⊥AB，
∴O為AB的中點，即AO=BO=$\frac{1}{2}$AB，
∵G（0，1），即OG=1，
∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：AO=$\sqrt{A{G}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AO=2$\sqrt{3}$，
又CO=CG+GO=2+1=3，
∴在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，
當(dāng)E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當(dāng)E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，
∴當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長$\widehat{AO}$，
在Rt△ACO中，tan∠ACO=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，
∴$\widehat{AO}$度數(shù)為60°，
∵直徑AC=2$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{AO}$的長為$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π，
則當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．

點評 此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長$\widehat{AO}$是解本題的關(guān)鍵．