Question

8．如圖，正方形ABCD中，點E在邊CD上，且CE=2DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF．
求證：（1）△ABG≌△AFG；
（2）AG∥CF．

Answer 1

分析 （1）由正方形和折疊的性質(zhì)得出AF=AB，∠B=∠AFG=90°，由HL即可證明Rt△ABG≌Rt△AFG；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出BG=FG，∠AGB=∠AGF，設(shè)正方形的邊長為6，BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，由勾股定理求出x=3，得出BG=GF=CG，由等腰三角形的性質(zhì)和外角關(guān)系得出∠AGB=∠FCG，即可證出平行線．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
（2）∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
設(shè)正方形ABCD的邊長為6，BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG²+CE²=EG²，
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2
∴（6-x）²+4²=（x+2）²
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG，
∴AG∥CF．

點評 本題考查了正方形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的判定等知識點的運用；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．