Question

【題目】如圖，△ABC內接于半圓，AB為直徑，過點A作直線MN，若∠MAC=∠ABC．

（1）求證：MN是半圓的切線．

（2）設D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F，求證：FD=FG．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據圓周角定理推論得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠CAB=90°，而∠MAC=∠ABC，則∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，根據切線的判定即可得到結論；

（2）連AD，根據圓周角定理推論得到∠ABC=90°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，則∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，又

D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，得到∠3=∠5，于是∠1=∠4，利用對頂角相等易得∠1=∠2，則有FD=FG．

（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

而∠MAC=∠ABC，

∴∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，

∴MN是半圓的切線；

（2）如圖

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

而DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，

∵D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，

∴∠3=∠5，

∴∠1=∠4，

而∠2=∠4，

∴∠1=∠2，

∴FD=FG．