Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過(guò)的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）依次為A1，A2，A3，…An，…．將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y＝x上；②拋物線依次經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，A2，A3…An，…．則頂點(diǎn)M1的坐標(biāo)為_____，頂點(diǎn)M2的坐標(biāo)為_____，頂點(diǎn)M2018的坐標(biāo)為_____．

Answer 1

【答案】（1，1）， （3，3）， （4035，4035）.

【解析】

根據(jù)拋物線的解析式結(jié)合整數(shù)點(diǎn)的定義，找出點(diǎn)An的坐標(biāo)為（n，n2），設(shè)點(diǎn)Mn的坐標(biāo)為（a，a），則以點(diǎn)Mn為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y＝（xa）2＋a，由點(diǎn)An的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出a值，將其代入點(diǎn)Mn的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解：∵拋物線y＝x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過(guò)的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）依次為A1，A2，A3，…，An，…，

∴點(diǎn)An的坐標(biāo)為（n，n2）．

設(shè)點(diǎn)Mn的坐標(biāo)為（a，a），則以點(diǎn)Mn為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y＝（x﹣a）2+a，

∵點(diǎn)An（n，n2）在拋物線y＝（x﹣a）2+a上，

∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），

∴Mn的坐標(biāo)為（2n﹣1，2n﹣1），

∴頂點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（1，1），頂點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（3，3），頂點(diǎn)M2018的坐標(biāo)為（4035，4035），

故答案為：（1，1），（3，3），（4035，4035）．