Question

17．在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，DF∥BC，交AB邊于點(diǎn)F，交AC邊于點(diǎn)G，點(diǎn)H在FG的延長線上，GH=DG，連接AF、CF．
（1）如圖1，求證：四邊形ADCH為矩形；
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=60°，DG=2FD時，請直接寫出圖中與線段AD長相等的線段．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形ADCH是平行四邊形，再證明∠ADC=90°即可．
（2）與AD相等的線段有DE，AG，GC，CH，BE．構(gòu)建等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理即可判斷．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠DCA=∠DCE，CD⊥AE，
∴∠CDA=∠CDE=90°，
∴∠CAD+∠DCA=90°，∠CEA+∠DCE=90°，
∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=EC，
∴AD=DE，
∵FH∥BC，
∴AG=GC，∵DG=GH，
∴四邊形ADCH是平行四邊形，
∵∠ADC=90°，
∴四邊形ADCH是矩形．

（2）解：如圖2中，與AD相等的線段有DE，AG，GC，CH，BE．

理由：∵CA=CE，∠ACE=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∵FH∥BC，AD=DE，
∴△ADG是等邊三角形，DF是△ABE的中位線，
∴與AD相等的線段有BE，DE，CG，AG，CH．

點(diǎn)評 本題考查矩形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．