Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+3x與x軸交于O、A兩點，與直線y＝x交于O、B兩點，點A、B的坐標分別為（3，0）、（2，2）．點P在拋物線上，且不與點O、B重合，過點P作y軸的平行線交射線OB于點Q，以PQ為邊作R△PQN，點N與點B始終在PQ同側，且PN＝1．設點P的橫坐標為m（m＞0），PQ長度為d．

（1）用含m的代數(shù)式表示點P的坐標．

（2）求d與m之間的函數(shù)關系式．

（3）當△PQN是等腰直角三角形時，求m的值．

（4）直接寫出△PQN的邊與拋物線有兩個交點時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P（m，﹣m2+3m）；（2）①當0＜m＜2時，d＝﹣m2+2m，②當m＞2時，d＝m2﹣2m；（3）①當0＜m＜2時，m1＝m2＝1．②當m＞2時，m1＝1+，m2＝1﹣（舍）；（4）m＝1或m＞2．

【解析】

（1）把把x＝m代入y＝﹣x2+3x即可；

（2）分類用兩點縱坐標之差即可表示；

（3）由△PQN是等腰直角三角形得出PQ＝PN＝1，列方程求解即可；

（4）把點P在OB上側和下側分類研究即可；

（1）把x＝m代入y＝﹣x2+3x，y＝﹣m2+3m

∴P（m，﹣m2+3m）

（2）①當0＜m＜2時，

d＝﹣m2+3m﹣m＝﹣m2+2m，

②當m＞2時，

d＝m﹣（﹣m2+3m）＝m2﹣2m

（3）當△PQN是等腰直角三角形，

∴PQ＝PN＝1，

①當0＜m＜2時，

﹣m2+2m＝1，

解得m1＝m2＝1．

②當m＞2時，

m2﹣2m＝1，

解得m1＝1+，m2＝1﹣（舍）

（4）m＝1或m＞2．

當點P在OB上側時，當△PQN是直角三角形，PN平行于x軸，所以P和N關于對稱軸x＝對稱，又因為PN＝1，所以m＝1；

當點P在OB下方時，因為點N與點B始終在PQ左側，所以這時△PQN的邊與拋物線始終有兩個交點，所以m＞2．

所以m＝1或m＞2．