Question

15．如圖，四邊形ABCD是菱形，點P是對角線AC上一點，以點P為圓心、PB為半徑的弧交BC的延長線于點F，連接PF、PD、PB，若∠ABC=60°，則∠DPF的度數(shù)為60°．

Answer 1

分析 先由菱形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAC=∠DAC，再由SAS證明△ABP≌△ADP，得出PB=PD，又PB=PF，則PF=PD，所以P為圓心，PB為半徑作圓P，則點B、F、D都在圓P上，連接BD，則∠DPF=2∠DBF=∠ABC，問題得解．

解答 解：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．
在△ABP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PF，
∴PF=PD，
∴以P為圓心，PB為半徑作圓P，則點B、F、D都在圓P上，
連接BD，
由圓周角定理，可得∠DPF=2∠DBF，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABC=2∠DBF，
∴∠DPF=∠ABC=60°，
故答案為：60°．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)與判定、軸對稱性與中心對稱性．此題難度適中，正確添加輔助線是解題的關鍵．