Question

14．如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，1秒鐘時(shí)，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由？
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以（1）②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)，直接寫出經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．

Answer 1

分析 （1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求得∠B=∠C，最后根據(jù)SAS即可證明；
②因?yàn)閂_P≠V_Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根據(jù)全等得出CQ=BD=6，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和CQ的長(zhǎng)即可求得Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）因?yàn)閂_Q＞V_P，只能是點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q比點(diǎn)P多走AB+AC的路程，據(jù)此列出方程，解這個(gè)方程即可求得．

解答 解：（1）①1秒鐘時(shí)，△BPD與△CQP是否全等；理由如下：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=3（cm）
∵AB=12cm，D為AB中點(diǎn)，
∴BD=6cm，
又∵PC=BC-BP=9-3=6（cm），
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD與△CQP中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BD=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵V_P≠V_Q，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{BP}{3}$=$\frac{4.5}{3}$=1.5（秒），
此時(shí)V_Q=$\frac{CQ}{t}$=$\frac{6}{1.5}$=4（cm/s）．
（2）因?yàn)閂_Q＞V_P，只能是點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q比點(diǎn)P多走AB+AC的路程，
設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后P與Q第一次相遇，
依題意得：4x=3x+2×12，
解得：x=24（秒）
此時(shí)P運(yùn)動(dòng)了24×3=72（cm）
又∵△ABC的周長(zhǎng)為33cm，72=33×2+6，
∴點(diǎn)P、Q在BC邊上相遇，即經(jīng)過(guò)了24秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在BC邊上相遇．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用；熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．