Question

5．如圖，已知拋物線l₁經(jīng)過原點(diǎn)與A點(diǎn)，其頂點(diǎn)是P（-2，3），平行于y軸的直線m與x軸交于點(diǎn)B（b，0），與拋物線l₁交于點(diǎn)M．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，0）；拋物線l₁的解析式是y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3；
（2）當(dāng)BM=3時(shí)，求b的值；
（3）把拋物線l₁繞點(diǎn)（0，1）旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線l₂．
①直接寫出當(dāng)兩條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y都隨著x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍-2＜x＜2；
②直線m與拋物線l₂交于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的長(zhǎng)為n，求n與b的關(guān)系式，并求出線段MN的最小值與此時(shí)b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)O和A是對(duì)稱點(diǎn)即可求得A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）BM=3則M的縱坐標(biāo)是3或-3，代入拋物線解析式求得M的橫坐標(biāo)，即B的橫坐標(biāo)；
（3）M和N的橫坐標(biāo)相等，則設(shè)橫坐標(biāo)是b，則利用b可以表示出M和N的縱坐標(biāo)，即可表示出MN的長(zhǎng)，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2，3），即對(duì)稱軸是x=-2，
∴A的坐標(biāo)是（-4，0）．
設(shè)拋物線的解析式是y=a（x+2）2+3，
把（0，0）代入得4a+3=0，
解得a=-$\frac{3}{4}$，
則拋物線的解析式是y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3．
故答案是：（-4，0），y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3．
（2）在y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3中，令y=-3，則-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3=-3，
解得：x=-2$\sqrt{2}$-2或2$\sqrt{2}$-2．
當(dāng)在y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3中，令y=3時(shí)，則-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3=3，
解得x=-2，即b=-2．
則b=-2或2$\sqrt{2}$-2或-2$\sqrt{2}$-2；
（3）P（-2，3）關(guān)于（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)是（2，-1），
則拋物線L₂的解析式是y=$\frac{3}{4}$（x-2）²-1，
①當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，兩條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y都隨著x的增大而減小．
答案是：-2＜x＜2；
②設(shè)M的坐標(biāo)是（b，-$\frac{3}{4}（b+2）^{2}+3$），則N的坐標(biāo)是（b，$\frac{3}{4}$（b-2）²-1），
則MN=$\frac{3}{4}$（b-2）²-1）-[-$\frac{3}{4}（b+2）^{2}+3$]=$\frac{3}{2}$b²+2．
則當(dāng)b=0時(shí)，MN最小，是2．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)與點(diǎn)的對(duì)稱的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是求得兩條拋物線的解析式．