Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，射線EF與線段AB相交于點(diǎn)G，與射線CA相交于點(diǎn)Q．

（1）求證：△BPE∽△CEQ；
（2）求證：DP平分∠BPQ；
（3）當(dāng)BP=a，CQ= a，求PQ長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，

∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∵∠B=∠C=45°，

∴△BPE∽△CEQ，

（2）解：∵△BPE∽△CEQ，

∴ = ，

∵CE=BE，

∴ = ，

∵∠B=∠DEF=45°，

∴△BPE∽△EPQ，

∴∠BPE=∠EPQ，

∴∠DPB=∠DPQ，

∴DP平分∠BPQ．

（3）解：∵△BPE∽△CEQ，

∴ = ，

∵BP=a，CQ= a，BE=CE，

∴ = ，

∴BE=CE= a，

∴BC=3 a，

∴AB=AC=BCsin45°=3a，

∴AQ=CQ﹣AC= a，PA=AB﹣BP=2a，

在Rt△APQ中，PQ= = a．

【解析】（1）由△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，得出∠B=∠C=∠DEF=45°，由因∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC，從而推出△BPE∽△CEQ；
（2） 由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=,又因CE=BE，從而=,又∠B=∠DEF=45°，故△BPE∽△EPQ，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠BPE=∠EPQ，從而得出結(jié)論；
（3）由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=,從而求出BE=CE= a，BC=3 a，根據(jù)銳角三角函數(shù)及勾股定理得出結(jié)論。

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的角的平分線判定和全等三角形的性質(zhì)，需要了解可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)(交于一點(diǎn))；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等才能得出正確答案．