Question

3．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（4，1），點(diǎn)C（-3，-2）．
（1）在x軸上找一點(diǎn)D，使AD+BD最小，求點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使|AE-CE|最大，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B與x軸的交點(diǎn)即為所求；
（2）連接AC與y軸的交點(diǎn)即為所求．

解答 解：如圖所示：

（1）點(diǎn)A（1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'（1，-2），連接A'B交x軸于點(diǎn)D，
設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，
將A'和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴A'B的解析式為y=x-3，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）∵|AE-CE|≤AC，當(dāng)AEC三點(diǎn)共線時(shí)|AE-CE|最大，
∴連接AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求，
設(shè)AC的解析式為y=mx+n，
將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2=m+n}\\{-2=-3m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴AC的解析式為y=x+1，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，難度中等．熟悉“將軍飲馬”模型以及三角形三邊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵所在．