Question

1．如圖1，一次函數y₁=kx+b（k，b為常數，k≠0）的圖象與反比例函數y₂=$\frac{m}{x}$（m為常數，m≠0）的圖象交于點M（1，4）和點N（4，n）．
（1）填空：①反比例函數的解析式是y₂=$\frac{4}{x}$；
②根據圖象寫出y₁＜y₂時自變量x的取值范圍是0＜x＜1或x＞4；
（2）若將直線MN向下平移a（a＞0）個單位長度后與反比例函數的圖象有且只有一個公共點，求a的值；
（3）如圖2，函數y₂=$\frac{m}{x}$的圖象（x＞0）上有一個動點C，若將直線MN繞點C旋轉得到直線PQ，PQ交x軸于點A，交y軸于點B，若BC=2CA，求OA•OB的值．

Answer 1

分析 （1）①把M點坐標代入反比例函數解析式可求得m的值，則可求得答案；②直接由M、N的坐標可求得答案；
（2）由反比例函數解析式可求得N點坐標，把M、N的坐標代入一次函數解析式，可求得直線MN的解析式，可設出平移后的解析式，聯(lián)立平移后的解析式與反比例函數解析式，消去y，可得到關于x的方程，利用根的判別式可求得a的值；
（3）設C（a，b），則可求得ab=4，過C作CH⊥OA于點H，當點B在y軸負半軸時，可證得△ACH≌△ABO，則可求得OA•OB的值；當點B在y軸的正半軸時，可證明△ACH∽△ABO，利用相似三角形的性質可求得OA•OB，可求得答案．

解答 解：
（1）∵y₂=$\frac{m}{x}$（m為常數，m≠0）過點M（1，4），
∴m=4，
∴y₂=$\frac{4}{x}$，
故答案為：y₂=$\frac{4}{x}$；
②當y₁＜y₂時，即直線MN在反比例函數圖象的下方時對應的自變量的取值范圍，
∵M（1，4），N（4，n），
∴當y₁＜y₂時時，x的取值范圍為0＜x＜1或x＞4；
故答案為：0＜x＜1或x＞4；
（2）∵N（4，n）在反比例函數y₂=$\frac{4}{x}$上，
∴4n=4，解得n=1，
∴N（4，1），
把M、N坐標代入y₁=kx+b可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線MN解析式為y₁=-x+5，
∴將直線MN向下平移a（a＞0）個單位長度后解析式為y=-x+5-a，
把y=$\frac{4}{x}$代入消去y，整理可得x²-（5-a）x+4=0，
∵平移a（a＞0）個單位長度后與反比例函數的圖象有且只有一個公共點，
∴△=（5-a）²-16=0，
解得a=1或a=9；
（3）設點C（a，b），則ab=4，如圖1，過C作CH⊥OA于點H，
①當點B在y軸的負半軸時，如圖1，

∵BC=2CA，
∴AB=CA，
在△ACH和△ABO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{∠AHC=∠AOB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB=CH=b，OA=AH=$\frac{1}{2}$a，
∴OA•OB=$\frac{1}{2}$ab=2；
②當點B在y在y軸的正半軸時，如圖2，當點A在x軸的正半軸時，

∵BC=2CA，
∴$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴$\frac{CH}{OB}$=$\frac{AH}{OA}$=$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OB=3b，OA=$\frac{3}{2}$a，
∴AO•OB=$\frac{9}{2}$ab=18，
如圖3，當點A在x軸的負半軸時，BC=2CA不可能，

綜上可知OA•OB的值為2或18．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、根的判別式、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中求得直線MN的解析式，用a表示出平移后的解析式，由條件得到關于a的方程是解題的關鍵，在（3）中分兩種情況分別利用三角形的全等或相似的性質用C點坐標分別表示出OA和OB是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．