Question

11．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B在棱上與點(diǎn)C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離是（　　）

• A． $10\sqrt{5}+5$
• B． $5\sqrt{29}$
• C． 25
• D． $5\sqrt{37}$

Answer 1

分析 要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．

解答 解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖：
∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+2{0}^{2}}$=25；
只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：
∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，

在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+2{5}^{2}}$=5$\sqrt{29}$；
只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：
∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{37}$；
∵25＜5$\sqrt{29}$＜5$\sqrt{37}$，
∴螞蟻爬行的最短距離是25．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．