Question

15．如圖，O為等腰三角形ABC內一點，⊙O與底邊BC交于M、N兩點，且與AB、AC相切于E、F兩點，連接AO，與⊙O交于點G，與BC相交于點D．
（1）證明：AD⊥BC；
（2）若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2$\sqrt{3}$，求扇形OEM的面積．

Answer 1

分析 （1）根據切線長定理得到AE=AF，∠EAO=∠FAO，根據等腰三角形的性質得到AD⊥EF，根據三角形的內角和得到∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），等量代換得到∠AEF=∠B，根據平行線的性質即可得到結論．
（2）由AG等于⊙O的半徑，得到AO=2OE，由AB是⊙O的切線，得到∠AEO=90°，根據直角三角形的性質得到∠EAO=30°，根據三角形的內角和得到∠AOE=60°，由垂徑定理得到DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，根據三角函數的定義得到∠MOD=60°，根據扇形的面積公式即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AB、AC相切于E、F兩點，
∴AE=AF，∠EAO=∠FAO，
∴AD⊥EF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），
∵AE=AF，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），
∴∠AEF=∠B，
∴EF∥BC，
∴AD⊥BC；

（2）解：∵AG等于⊙O的半徑，
∴AO=2OE，
∵AB是⊙O的切線，
∴∠AEO=90°，
∴∠EAO=30°，
∴∠AOE=60°，
∵AE=2$\sqrt{3}$，
∴OE=2，
∵OD⊥MN，
∴DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，
∵OM=2，
∴sin∠MOD=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠MOD=60°，
∴∠EOM=60°，
∴S_扇形EOM=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

點評 本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，扇形的面積的計算，平行線的判定和性質，解直角三角形，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．