Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜邊AB的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CE=CF，連接BF，DE．線(xiàn)段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 連接BD，延長(zhǎng)BF交DE于點(diǎn)G，根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到AD=BD，求出∠CBD=45°，證明△ECD≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：DE=BF，DE⊥BF．理由如下：
連接BD，延長(zhǎng)BF交DE于點(diǎn)G．
∵點(diǎn)D在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，
∴∠ABC=67.5°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴BC=DC．
在△ECD和△FCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠DCE=∠BCF}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE=BF，∠CED=∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠CED+∠CBF=90°，
∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．