Question

【題目】（2016吉林省）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長(zhǎng)度為2m，以OB為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)．

（1）當(dāng)m=2時(shí)，a= ，當(dāng)m=3時(shí)，a= ；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想a與m的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點(diǎn)，PQ的長(zhǎng)度為2n，當(dāng)△APQ為等腰直角三角形時(shí)，a和n的關(guān)系式為 ；

（4）利用（2）（3）中的結(jié)論，求△AOB與△APQ的面積比．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）：1．

【解析】試題分析：（1）由△AOB為等邊三角形，AB=2m，得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再由點(diǎn)A，B，O在拋物線上建立方程組，得出結(jié)論，最后代m=2，m=3，求值即可；

（2）同（1）的方法得出結(jié)論

（3）由△APQ為等腰直角三角形，PQ的長(zhǎng)度為2n，設(shè)A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程組求解即可；

（4）由（2）（3）的結(jié)論得到m=n，再根據(jù)面積公式列出式子，代入化簡(jiǎn)即可．

試題解析：解：（1）如圖1，∵點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長(zhǎng)度為2m，∴B（2m，0）．∵以OB為邊向上作等邊三角形AOB，∴AM=m，OM=m，∴A（m，m）．∵拋物線l：經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)，∴，∴．

當(dāng)m=2時(shí)，a=，當(dāng)m=3時(shí)，a=．故答案為：，；

（2）．理由：如圖1，∵點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長(zhǎng)度為2m，∴B（2m，0）．∵以OB為邊向上作等邊三角形AOB，∴AM=m，OM=m，∴A（m，m）．∵拋物線l：經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)，∴，∴，∴；

（3）如圖2，∵△APQ為等腰直角三角形，PQ的長(zhǎng)度為2n，設(shè)A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d）．∵P，Q，A，O在拋物線l：上，∴，∴，①﹣②化簡(jiǎn)得，2ae﹣an+b=1④，①﹣③化簡(jiǎn)得：﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，④+⑤化簡(jiǎn)得：an=﹣1，∴．故答案為：．

（4）∵OB的長(zhǎng)度為2m，AM=m，∴S△AOB=OB×AM=×2m×m=，由（3）有，AN=n．

∵PQ的長(zhǎng)度為2n，∴S△APQ=PQ×AN=×2n×n=，由（2）（3）有，，，∴，∴m=n，∴===，∴△AOB與△APQ的面積比為：1．