Question

【題目】如圖1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 點(diǎn)E在BC上，連接AE，把△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B與AD上的點(diǎn)F重合，連接EF.

(1)求證：四邊形ABEF是菱形；

(2)如圖2，點(diǎn)M是BC上的動點(diǎn)，連接AM，把線段AM繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)得到線段MN，連接FN，求FN的最小值(用含的代數(shù)式表示).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）FE·sin( －90°)

【解析】

(1)由四邊形ABCD是平行四邊形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折疊的性質(zhì)得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四邊形ABEF是平行四邊形，又BE=EF,因此可得結(jié)論；

(2)根據(jù)點(diǎn)M在線段BE上和EC上兩種情況證明∠ENG＝90°－ ，利用菱形的性質(zhì)得到∠FEN＝ －90°，再根據(jù)垂線段最短，求出FN的最小值即可.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠FAE=∠BEA，

由折疊的性質(zhì)得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，

∴∠BAE=∠FEA，

∴AB∥FE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

又BE=EF，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線段BE上時，在射線MC上取點(diǎn)G，使MG＝AB，連接GN、EN.

∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B

∴∠1＝∠2

又AM＝NM，AB＝MG

∴△ABM≌△MGN

∴∠B＝∠3，NG＝BM

∵MG＝AB＝BE

∴EG＝AB＝NG

∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－

又在菱形ABEF中，AB∥EF

∴∠FEC＝∠B=

∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－ )＝ －90°

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段EC上時，在BC延長線上截取MG＝AB，連接GN、EN.

同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－ )＝ －90°

綜上所述，∠FEN＝ －90°

∴當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動時，點(diǎn)N在射線EH上運(yùn)動(如圖3)

當(dāng)FN⊥EH時，FN最小，其最小值為FE·sin( －90°)