Question

10．己知點(diǎn)A（a，b）是反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）圖象上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象于點(diǎn)B、C，交坐標(biāo)軸于D、E，且AC=3CD，連接BC．
（1）求k的值；
（2）在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△ABC的面積為S，則S是否變化？若不變，請(qǐng)求出S的值；若改變，請(qǐng)寫(xiě)出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探究：△ABC與以點(diǎn)O、D、E為頂點(diǎn)的三角形是否相似．

Answer 1

分析 （1）由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征用函數(shù)a的代數(shù)式表示出來(lái)b，并找出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)AC=3CD，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）得出A、C的坐標(biāo)，由AB∥x軸找出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得出AB、AC的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）由已知可得出∠BAC=∠DOE=90°，因此分兩種情況來(lái)討論．①△ABC∽△ODE是否成立？根據(jù)相似三角形的性質(zhì)驗(yàn)證對(duì)應(yīng)線段是否成比例，從而得出結(jié)論；②△ABC∽△OED是否成立？根據(jù)相似三角形的性質(zhì)驗(yàn)證對(duì)應(yīng)線段是否成比例，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（a，b），且A在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴b=$\frac{8}{a}$，
∵AC∥y軸，且C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴C（a，$\frac{k}{a}$）．
又∵AC=3CD，
∴AD=4CD，即$\frac{8}{a}$=4•$\frac{k}{a}$，
∴k=2．
（2）由（1）可知：A（a，$\frac{8}{a}$），C（a，$\frac{2}{a}$）．
∵AB∥x軸，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{8}{a}$，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的函數(shù)圖象上，
∴$\frac{8}{a}$=$\frac{2}{x}$，解得：x=$\frac{a}{4}$，
∴點(diǎn)B（$\frac{a}{4}$，$\frac{8}{a}$），
∴AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3a}{4}$，AC=$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{6}{a}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$•$\frac{3a}{4}$•$\frac{6}{a}$=$\frac{9}{4}$，
∴在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABC面積不變，始終等于$\frac{9}{4}$．
（3）連接DE，如圖所示．
∵由已知可知：∠BAC=∠DOE=90°，
∴△ABC與以點(diǎn)O、D、E為頂點(diǎn)的三角形如果相似，那么點(diǎn)A與點(diǎn)O一定是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．
下面分兩種情況進(jìn)行探究：
①△ABC∽△ODE是否成立？
∵$\frac{AB}{OD}$=$\frac{\frac{3}{4}a}{a}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{OE}$=$\frac{\frac{6}{a}}{\frac{8}{a}}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AB}{OD}$=$\frac{AC}{OE}$．
又∵∠BAC=∠DOE=90°，
∴△ABC∽△ODE．
∴在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABC∽△ODE始終成立；
②△ABC∽△OED是否成立？
$\frac{AB}{OE}$=$\frac{\frac{3}{4}a}{\frac{8}{a}}$=$\frac{3{a}^{2}}{32}$，$\frac{AC}{OD}$=$\frac{\frac{6}{a}}{a}$=$\frac{6}{{a}^{2}}$，
當(dāng)$\frac{AB}{OE}$=$\frac{AC}{OD}$時(shí)，即$\frac{3{a}^{2}}{32}$=$\frac{6}{{a}^{2}}$，
∴a=2$\sqrt{2}$．
∴在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)a=2$\sqrt{2}$時(shí)，△ABC∽△OED．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)線段間的關(guān)系找出關(guān)于k的一元一次方程；（2）用含a的代數(shù)式表示出線段AB、AC；（3）根據(jù)線段間的關(guān)系找出三角形是否相似．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例來(lái)證出三角形相似是難點(diǎn)，在日常練習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)該方面的練習(xí)．