Question

15．對于一個圓和一個正方形給出如下定義：若圓上存在到此正方形四條邊距離都相等的點(diǎn)，則稱這個圓是該正方形的“等距圓”．
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．
（1）當(dāng)r=2$\sqrt{2}$時，在P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是P₂（-2，4）；
（2）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，6），則當(dāng)⊙P的半徑r是多少時，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”，試判斷此時⊙P與直線AC的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，2），頂點(diǎn)E、H在y軸上，且點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方．
①將正方形ABCD繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段HF上沒有一個點(diǎn)能成為它的“等距圓”的圓心，直接寫出r的取值范圍是0＜r＜$\sqrt{2}$或r＞2$\sqrt{17}+2\sqrt{2}$．
②若⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P的圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“等距圓”的定義，可知只要圓經(jīng)過正方形的中心，即是正方形的“等距圓”，也就是說圓心與正方形中心的距離等于圓的半徑即可，從而可以判斷哪個點(diǎn)可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心，本題得以解決；
（2）根據(jù)題意可知，只要求出點(diǎn)P與正方形ABCD的中心的距離即可求得半徑r的長度，連接PE，可以得到直線PE的解析式，看點(diǎn)B是否在此直線上，由BE與直線AC的關(guān)心可以判斷PE與直線AC的關(guān)系，本題得以解決；
（3）①根據(jù)題意，可以做出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，然后靈活轉(zhuǎn)化，可以求得相應(yīng)的r的取值范圍，本題得以解決；
②根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)P滿足的條件，列出形應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）連接AC、BD相交于點(diǎn)M，如右圖1所示，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)M是正方形ABCD的中心，到四邊的距離相等，
∴⊙P一定過點(diǎn)M，
∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．
∴點(diǎn)M（0，2），
設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是（x，y），
∴$（x-0）^{2}+（y-2）^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}$，
將P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2）分別代入上面的方程，只有P₂（-2，4）成立，
故答案為：P₂（-2，4）；
（2）由題意可得，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（-3，6），
∴r=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（6-2）^{2}}=5$，
即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，6），則當(dāng)⊙P的半徑r是5時，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”；
此時⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交，
理由：∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，
∴點(diǎn)C（-2，0），
設(shè)過點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)C（-2，0）的直線的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直線AC的解析式為：y=x+2，
∴點(diǎn)P（-3，6）到直線AC的距離為：$\frac{|-3-6+2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{7\sqrt{2}}{2}$＜5，
∴此時⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交；
（3）連接DH，作DT⊥HF于點(diǎn)T，以點(diǎn)D為圓心，DE長為半徑作圓，交DT于點(diǎn)E₂，交HD的延長線于點(diǎn)E₁，如右圖2所示，
①設(shè)過點(diǎn)H（0，8），F(xiàn)（2，6）的直線的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
即直線HF的解析式為：y=-x+8，
∵HF⊥DT，D（2，0），
∴設(shè)直線DT所在直線的解析為：y=x+c，
則0=2+c得c=-2，
即直線DT所在的直線解析為：y=x-2，
∵點(diǎn)T是直線HT與直線DT的交點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=5}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)T的坐標(biāo)為（3，5），
∴DT=$\sqrt{（5-2）^{2}+（3-0）^{2}}=3\sqrt{2}$，
又∵DE₂=DE=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴E₂T=DT-DE₂=$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)0＜r＜$\sqrt{2}$時，線段HF上沒有一個點(diǎn)能成為它的“等距圓”的圓心；
∵D（0，2），H（0，8），
∴DH=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-8）^{2}}=2\sqrt{17}$，
又∵DE₁=DE=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴HE₁=2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$時，線段HF上沒有一個點(diǎn)能成為它的“等距圓”的圓心；
故答案為：0＜r＜$\sqrt{2}$或r＞2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{2}$；
②設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接HF、EG交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為正方形EFGH的中心，如右上圖2所示，
∵點(diǎn)E（0，2），N（3，5），點(diǎn)C（-2，0），點(diǎn)B（-2，4），⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=\sqrt{（3-x）^{2}+（5-y）^{2}}}\\{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=x-（-2）}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2\sqrt{5}}\\{y=-2\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5-2\sqrt{5}}\\{y=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
即⊙P的圓心P的坐標(biāo)是（5+2$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$）或（5-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題目給出的條件，作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．