Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y），其中y≠0，我們把點P′（-x+1，1-$\frac{1}{y}$）叫做點P的衍生點．已知點A₁的衍生點為A₂，點A₂的衍生點為A₃，點A₃的衍生點為A₄，…，這樣依次得到點A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．若點A₁的坐標(biāo)為（2，-1），那么點A₂₀₁₅的坐標(biāo)為（2，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)衍生點的定義，若點A₁的坐標(biāo)為（a，b），分別計算點A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇的坐標(biāo)，根據(jù)計算結(jié)果得到這些點的坐標(biāo)每6個一循環(huán)，則可利用2015=335×6+5，可判斷點A₂₀₁₅的坐標(biāo)與點A₅相同，即為（a，$\frac{b-1}$）．

解答 解：若點A₁的坐標(biāo)為（a，b），
點A₁的衍生點為A₂的坐標(biāo)為（-a+1，1-$\frac{1}$），即A₂（-a+1，$\frac{b-1}$）；
點A₂的衍生點為A₃的坐標(biāo)為（a-1+1，1-$\frac{1}{\frac{b-1}}$），即A₃（a，-$\frac{1}{b-1}$）；
點A₃的衍生點為A₄的坐標(biāo)為（-a+1，1-$\frac{1}{-\frac{1}{b-1}}$），即A₄（-a+1，b）；
點A₄的衍生點為A₅的坐標(biāo)為（a-1+1，1-$\frac{1}$），即A₅（a，$\frac{b-1}$）；
點A₅的衍生點為A₆的坐標(biāo)為（-a+1，1-$\frac{1}{\frac{b-1}}$），即A₆（-a+1，-$\frac{1}{b-1}$）；
點A₆的衍生點為A₇的坐標(biāo)為（a-1+1，1-$\frac{1}{-\frac{1}{b-1}}$），即A₇（a，b），
…
而2015=335×6+5，
所以點A₂₀₁₅的坐標(biāo)與點A₅相同，即為（a，$\frac{b-1}$）．
∵點A₁的坐標(biāo)為（2，-1），
∴a=2，b=-1．
∵a=2，$\frac{b-1}$=$\frac{-1-1}{-1}$=2，
∴點A₂₀₁₅的坐標(biāo)為（2，2），
故答案為：（2，2）．

點評 本題考查點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，將數(shù)學(xué)周期的思想進(jìn)行了初步滲透，屬于中檔題，利用衍生點的定義得出規(guī)律：這些點的坐標(biāo)每6個一循環(huán)，即點A₁與點A₇重合是解題關(guān)鍵．