Question

16．如圖，已知∠MBN=60°，在BM，BN上分別截取BA=BC，P是∠MBN內(nèi)的一點，連接PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ．
（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連接PQ，求證：∠PQC=90°．

Answer 1

分析 （1）易證△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；
（2）根據(jù)PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC為直角三角形．

解答 （1）解：AP=CQ；理由如下：
連接PQ，如圖所示：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ為等邊三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBQ}&{\;}\\{BP=BQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
（2）證明：設(shè)PA=3a，PB=4a，PC=5a，
在△PBQ中，∵PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ為等邊三角形，
∴PQ=4a，
在△PQC中，∵PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²，
∴△PQC為直角三角形，即∠PQC=90°．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理逆定理的運用，本題中求證△ABP≌△CBQ是解題的關(guān)鍵．