Question

5．已知：如圖點A（6，8）在正比例函數(shù)圖象上，B（12，0），聯(lián)結AB，AO=AB=10，點C是線段AB的中點，點P在線段BO上以每秒3個單位的速度由B點向O點運動，點Q在線段AO上由A點向O點運動，P、Q兩點同時運動，同時停止，運動時間為t秒．
（1）求該正比例函數(shù)解析式；
（2）當t=1秒，且S_△OPQ=6時，求點Q的坐標；
（3）聯(lián)結CP，在點P、Q運動過程中，△OPQ與△BPC是否會全等？如果全等，請求出點Q的運動速度；如果不全等，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設正比例函數(shù)的解析式為y=kx，然后將點A的坐標代入求解即可；
（2）設點Q的坐標為（m，$\frac{4}{3}$m）．由t=1，可知BP=3，從而可求得OP=9，然后根據(jù)三角形的面積公式列出關于m的方程求得m的值即可；
（3）先利用兩點間的距離公式求得OA=AB=5，從而得到∠QOP=∠CBP，由△OPQ與△BPC全等可知：OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB，從而可求得點Q的運動速度．

解答 解：（1）設正比例函數(shù)的解析式為y=kx．
把A（6，8）代入得：8=6k．
解得：k=$\frac{4}{3}$．
故該正比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{3}$x；
（2）設點Q的坐標為（m，$\frac{4}{3}$m）．
當t=1時，BP=3，
∵BP=12
∴OP=9．
∵S_OPQ=6，
∴$\frac{1}{2}×9×\frac{4}{3}m=6$．
解得；m=1．
∴Q（1，$\frac{4}{3}$）．
（3）如圖所示；過點A作AD⊥OB，垂足為D．

由兩點之間的距離公式可知：AB=$\sqrt{（12-6）^{2}+（8-0）^{2}}$=10．
∵點C是AB的中點，
∴BC=5．
由兩點之間的距離公式可知OA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∴OA=AB．
∴∠QOP=∠CBP．
∵△OPQ與△BPC全等，
∴OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．
①當OP=BC=5，OQ=BP時，
∵OP=5，
∴12-3t=5．
解得：t=$\frac{7}{3}$．
∵OP=5，
∴OQ=BP=7．
∴AQ=3．
∴$\frac{7}{3}v=3$．
解得；v=$\frac{9}{7}$．
∴點Q運動的速度為$\frac{9}{7}$個單位/秒．
②當OQ=BC=5，OP=PB=6時，
由OP=PB=$\frac{1}{2}OB=6$可知：3t=6，
解得：t=2．
∵OQ=5，
∴AQ=OA-OQ=10-5=5．
∴2v=5．
解得：v=$\frac{5}{2}$．
∴點Q運動的速度為$\frac{5}{2}$個單位/秒．
綜上所述：當點Q的運動速度是每秒$\frac{9}{7}$個單位或每秒$\frac{5}{2}$個單位時，△OPQ與△BPC全等．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應用，全等三角形的性質、兩點間的距離公式、三角形的面積公式，根據(jù)三角形全等得出對應邊相等從而求得點P的運動時和點Q運動的距離是解題的關鍵．