Question

【題目】在正方形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD得中點(diǎn)．
（1）證明△ADQ∽△QCP；
（2）求證：AQ⊥QP．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)

∴ = ，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，

∴△ADQ∽△QCP

（2）證明：∵△ADQ∽△QCP，

∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，

∴∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD=90°，

∴AQ⊥QP

【解析】（1）根據(jù)BP=3PC和Q是CD的中點(diǎn)，可以求得 ，即可求證△ADQ∽△QCP；（2）根據(jù)△ADQ∽△QCP可以求得∠PQC+∠DQA=90°，即可解題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．