Question

【題目】已知：如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)， ⊙O1經(jīng)過點(diǎn)O2，點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C 不與A、B重合），AC的延長(zhǎng)線交⊙O2于P，連結(jié)AB、BC、BP；

（1）按題意將圖形補(bǔ)充完整；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖中不變的角有 （將符合要求的角都寫上）

（3）線段BC、PC的長(zhǎng)度存在何種關(guān)系？寫出結(jié)論，并加以證明；

（4）設(shè)⊙O1和⊙O2的半徑為、，當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，為等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ACB，∠BCP，∠APB，∠CBP；（3）CB = CP；理由見解析；（4）

【解析】

（1）根據(jù)題意作圖即可；

（2）由圓周角定理得∠ACB和∠APB不變，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得∠BCP和∠CBP不變；

（3）連結(jié)AO2，BO2，根據(jù)圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)求出∠CBP =∠P即可得BC = PC；

（4）由△BCP為等腰直角三角形得出弦AB為⊙O1的直徑，△AO2B為等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可．

解：（1）如圖所示：

（2）由圓周角定理得：∠ACB和∠APB不變，

∴∠BCP不變，

∵∠ACB＝∠APB＋∠CBP，

∴∠CBP不變，

故圖中不變的角有∠ACB，∠BCP，∠APB，∠CBP；

（3）BC = PC；

證明：連結(jié)AO2，BO2，

∵∠AO2B =∠ACB = 2∠P，∠ACB = ∠CBP +∠P，

∴∠CBP =∠P，

∴BC = PC；

（4）要使△BCP為等腰直角三角形，已有BC＝PC，只需∠BCP =90°，

∴∠ACB＝90°，

∴弦AB為⊙O1的直徑，

∴△AO2B為等腰直角三角形，

∴，

∴．