Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知點(diǎn)P（m，n）在拋物線上，當(dāng)﹣2≤m＜3時(shí)，直接寫n的取值范圍；

（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)M對稱，試問在該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ABP與△ABD全等？若存在，請求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）﹣4≤n≤5；（3）P的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（2，﹣3）．

【解析】

（1）將A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求n的取值范圍；

（3）在x軸上方的P不存在，點(diǎn)P只可能在x軸的下方，按照題意，分別求解即可．

解：（1）將點(diǎn)C坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：y＝x2+bx﹣3，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝﹣2，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，則x＝3或﹣1，即點(diǎn)B（3，0），

函數(shù)的對稱軸為x＝1，

m＝﹣2時(shí)，n＝4+4﹣3＝5，

m＜3，函數(shù)的最小值為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值：﹣4，

故﹣4≤n≤5；

（3）點(diǎn)D與點(diǎn)C（0，﹣3）關(guān)于點(diǎn)M對稱，則點(diǎn)D（2，3），

在x軸上方的P不存在，點(diǎn)P只可能在x軸的下方，

如下圖當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P為點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，此時(shí)△ABP與△ABD全等，

即點(diǎn)P（2，﹣3）；

同理點(diǎn)C（P′）也滿足△ABP′與△ABD全等，

即點(diǎn)P′（0，﹣3）；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（2，﹣3）．