Question

9．觀察下列各式：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
（1）由此可推測$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{7}$；
（2）試猜想此類式子的一般規(guī)律．用含字母m的等式表示出來．并說明理由（m表示整數(shù)）；
（3）請直接用（2）中的規(guī)律計算$\frac{1}{（x-2）（x-3）}-\frac{2}{（x-1）（x-3）}+\frac{1}{（x-1）（x-2）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知各等式的規(guī)律可以總結得出$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）由已知各等式的規(guī)律可以總結得出，再根據分式通分可以計算證明結論：$\frac{1}{m（m+1）}$=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+1}$；
（3）由（2）總結規(guī)律可以容易求出各式運算結果得零．

解答 解：（1）$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$
∴$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$

（2）猜想：$\frac{1}{m（m+1）}$=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+1}$．

理由如下：$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+1}$=$\frac{m+1}{m（m+1）}$-$\frac{m}{m（m+1）}$=$\frac{m+1-m}{m（m+1）}$=$\frac{1}{m（m+1）}$

（3）原式=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-2}$-（$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-1}$）+$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$=0

點評 本題屬于規(guī)律型題目，主要考察分式或分數(shù)的變形應用，可以很好的考察學生發(fā)現(xiàn)問題、總結問題、解決問題的能力．