Question

18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．
（1）用含t的代數(shù)式表示BP、BQ；
（2）是否存在某一時刻t的值，使△BPQ的面積是△BAC面積的$\frac{1}{4}$；
（3）若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求t的值．

Answer 1

分析 （1）直接用t表示出BP、BQ即可；
（2）作PD⊥BC于D，證得△BDF∽△BCA，進(jìn)一步用t表示PD，利用三角形的面積建立方程求得答案即可；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)△BPQ∽△BAC時，當(dāng)△BPQ∽△BCA時，再根據(jù)性質(zhì)以及BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可．

解答 解：（1）BP=5t，BQ=8-4t，

（2）如圖，

∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm，
作PD⊥BC于D，
∴∠BPD=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BPD∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{PD}{AC}$，
∴$\frac{5t}{10}$=$\frac{PD}{6}$，
∴PD=3t，
∴$\frac{1}{2}$×（8-4t）×3t=$\frac{1}{2}$×8×6×$\frac{1}{4}$
解得：t₁=t₂=1，
當(dāng)t=1時，使△BPQ的面積是△BAC面積的$\frac{1}{4}$；

（3）①當(dāng)△BPQ∽△BAC時，
∵$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$，
∴t=1；
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時，
∵$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，
∴t=$\frac{32}{41}$，
∴t=1或$\frac{32}{41}$時，△BPQ與△ABC相似．

點(diǎn)評 本題考查了，一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．也考查了分類討論的思想和利用代數(shù)法解決動點(diǎn)問題．