Question

已知拋物線y=x²+（k+1）x+1與x軸兩個(gè)交點(diǎn)A、B不在原點(diǎn)的左側(cè)，拋物線頂點(diǎn)為C，要使△ABC恰為等邊三角形，那么k的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：畫出圖形，將兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系；再利用三角函數(shù)求出等邊三角形的高的表達(dá)式，使其與拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，解答即可求出k的值．
解答：解：由題意A、B在原點(diǎn)的右側(cè)，且，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CB，
∴CD=CB•sin60°=AB•sin60°=，
又∵C點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
∴，
令（k+1）²=a，
則原式可化為=|1-|，
兩邊平方得，12a-48=a²-8a+16，
整理得，a²-20a+64=0，
解得a=4或a=16．
當(dāng)a=4時(shí)，（k+1）²=4，k+1=±2，k=-3或k=1；
當(dāng)a=16時(shí)，（k+1）²=16，k+1=±4，k=3或k=-5．
由于對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，所以-2（k+1）＞0，
解得k＜-1，
所以k=-5或k=-3．
故答案為-5或-3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系推出兩點(diǎn)間的距離表達(dá)式，再利用三角函數(shù)和拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列出等式是解題的關(guān)鍵．另外，此題對(duì)同學(xué)們的計(jì)算能力要求較高，對(duì)用換元法解方程應(yīng)當(dāng)有一定程度的了解．