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【題目】如圖,頂點為M的拋物線yax2+bx+3x軸交于A3,0),B(﹣10)兩點,與y軸交于點C

1)求拋物線的表達式;

2)在直線AC的上方的拋物線上,有一點P(不與點M重合),使ACP的面積等于ACM的面積,請求出點P的坐標;

3)在y軸上是否存在一點Q,使得QAM為直角三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標:若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)點P的坐標為:(2,3);(3)存在,點Q的坐標為:(0,1)或(03)或(0,)或(0,﹣

【解析】

1)拋物線的表達式為:yax+1)(x3)=ax22x3),即可求解;

2)過點M作直線mAC,在AC下方作等距離的直線n,直線n與拋物線交點即為點P,即可求解;

3)分AM時斜邊、AQ是斜邊、MQ是斜邊三種情況,分別求解即可.

解:(1)拋物線的表達式為:yax+1)(x3)=ax22x3),

故﹣3a1,解得:a=﹣1,

故拋物線的表達式為:y=﹣x2+2x+3;

2)過點M作直線mAC,直線m與拋物線交點即為點P,

設直線m的表達式為:y=﹣x+b,

M1,4),則直線m的表達式為:y=﹣x+5,

聯立方程組

解得:x1(舍去)或2;

故點P的坐標為:(2,3);

3)設點Q的坐標為:(0,m),而點AM的坐標分別為:(3,0)、(1,4);

AM220,AQ29+m2MQ2=(m42+1m28m+17;

AM時斜邊時,則209+m2+m28m+17,解得:m13;

AQ是斜邊時,則9+m2=20+ m28m+17,解得m;

MQ是斜邊時,則m28m+17=20+9+m2,解得m=﹣,

綜上,點Q的坐標為:(0,1)或(0,3)或(0,)或(0,﹣

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(2)預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然存在(2)中的關系,且該產品的成本是20元/件.為使工廠獲得最大利潤,該產品的單價應定為多少?

(3)為保證產品在實際試銷中銷售量不得低于30件,且工廠獲得得利潤不得低于400元,請直接寫出單價的取值范圍;

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