Question

12．已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，BE⊥AC，垂足為點E，M為AB邊的中點，連接ME、MD、ED．
（1）求證：△MED為等腰三角形；
（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MD=$\frac{1}{2}$AB，ME=$\frac{1}{2}$AB，證明結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，計算即可．

解答 證明：（1）∵M為AB邊的中點，AD⊥BC，
∴MD=$\frac{1}{2}$AB，
同理ME=$\frac{1}{2}$AB，
∴ME=MD，
∴△MED為等腰三角形；
（2）∵ME=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理可得：MD=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=∠MAD+∠MDA=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠EMD=20°．

點評 本題考查的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．