Question

【題目】已知：如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A、B分別是y軸正半軸和x軸正半軸上的點，OA=OB=a，a滿足等式2a﹣2×16=64．

（1）求點A的坐標(biāo)；

（2）動點C從O點出發(fā)沿x軸負(fù)半軸方向勻動，速度為每秒2個單位長度，過點B作BD⊥AC于D，交y軸于點E，設(shè)C的運動時間為t，用含t的代數(shù)式表示線段AE的長．

（3）在（2）的條件下過點O作OF⊥BD于點F，交AB于點G，連接EG，是否存在t值，使∠AGE=∠OGB，若存在求出t值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4）；（2）AE=4﹣2t；（3）t=1．

【解析】

（1）由同底數(shù)冪的乘法可求a的值；

（2）由“AAS”可證△ACO≌△BEO，可得CO＝OE＝2t，即可求AE的長；

（3）過點A作AH∥OB，交OG延長線于H，由“ASA”可證△AGE≌△AGH，可得AH＝AE＝4﹣2t，由“ASA”可證△AOH≌△OBE，可得AH＝OE，即可求t的值．

（1）∵2a﹣2×16=64，

∴a﹣2=2，

∴a=4．

∵OA=OB=a，

∴OA=OB=4，

∴點A（0，4），點B（4，0）；

（2）如圖1，

∵BD⊥AC，AO⊥BC，

∴∠ACO+∠CBD=90，∠ACO+∠CAO=90，

∴∠CBD=∠CAO，且AO=BO，∠AOC=∠BOE=90，

∴△ACO≌△BEO（AAS），

∴CO=OE=2t，

∴AE=AO﹣OE=4﹣2t，

（3）存在.

如圖2，過點A作AH∥OB，交OG延長線于H，

∴∠HAO=∠AOB=90．

∵AO=BO，∠AOB=90，

∴∠OAB=∠OBA=45，

∴∠HAG=∠OAB=45，且AG=AG，∠AGE=∠OGB=∠AGH，

∴△AGE≌△AGH（ASA），

∴AH=AE=4﹣2t．

∵OF⊥BD，

∴∠FOB+∠OBD=90，且∠AOH+∠FOB=90，

∴∠AOH=∠OBD，且AO=OB，∠HAO=∠EOB，

∴△AOH≌△OBE（ASA），

∴AH=OE，

∴4﹣2t=2t，

∴t=1．