Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣3x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．求ME長(zhǎng)的最大值；
（3）試探究當(dāng)ME取最大值時(shí)，在x軸下方拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以M，F(xiàn)，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=0時(shí)，﹣3x﹣3=0，x=﹣1

∴A（﹣1，0）

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴

∴ ，

拋物線的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3

∴B（3，0）

（2）

解：由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直線BC的解析式是：y=x﹣3，

設(shè)M（x，x﹣3）（0≤x≤3），則E（x，x2﹣2x﹣3）

∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ；

∴當(dāng)x= 時(shí)，ME的最大值為

（3）

解：答：不存在．

由（2）知ME取最大值時(shí)ME= ，E（ ，﹣ ），M（ ，﹣ ）

∴MF= ，BF=OB﹣OF= ．

設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P，使以P、M、F、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

則BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，﹣ ）或P2（3，﹣ ）

當(dāng)P1（0，﹣ ）時(shí)，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣

∴P1不在拋物線上．

當(dāng)P2（3，﹣ ）時(shí)，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣

∴P2不在拋物線上．

綜上所述：在x軸下方拋物線上不存在點(diǎn)P，使以P、M、F、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

【解析】（1）先根據(jù)直線的解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）ME的長(zhǎng)實(shí)際是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于ME的長(zhǎng)和F點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求出ME的最大值．（3）根據(jù)（2）的結(jié)果可確定出F，M的坐標(biāo)，要使以M，F(xiàn)，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是MP∥=BF，那么只需將M點(diǎn)的坐標(biāo)向左或向右平移BF長(zhǎng)個(gè)單位即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將得出的P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的P點(diǎn)．