Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，AC＝DB．

（1）求證：AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相平分．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質易得AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD，由全等三角形判定定理及性質得出結論；

（2）連接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，易得四邊形HFGE為平行四邊形，由平行四邊形的性質及（1）結論得HFGE為菱形，易得EF與GH互相垂直平分．

證明：（1）過點B作BM∥AC交DC的延長線于點M，如圖1，

∵AB∥CD

∴四邊形ABMC為平行四邊形．

∴AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD．

在△ACD和△BDC中，

，

∴△ACD≌△BDC（SAS），

∴AD＝BC；

（2）連接EH，HF，FG，GE，如圖2，

∵E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，

∴HE∥AD，且HE＝AD，FG∥AD，且FG＝，

∴四邊形HFGE為平行四邊形，

由（1）知，AD＝BC，

∴HE＝EG，

∴HFGE為菱形，

∴EF與GH互相垂直平分．