Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象相交于A（-2，2）、B兩點(diǎn)，從點(diǎn)A和點(diǎn)B分別引平行于y軸的直線與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P（t，0），為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線與拋物線和直線分別交于R，S．
（1）求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)SR=2RP時(shí)，計(jì)算線段SR的長(zhǎng)；
（3）若線段BD上有一動(dòng)點(diǎn)Q且其縱坐標(biāo)為t+3，問(wèn)是否存在t的值，使S_△BRQ=15？若存在，求t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線和直線的解析式中即可求出兩函數(shù)的解析式．然后聯(lián)立兩函數(shù)的函數(shù)式即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）線段SR實(shí)際是直線AB的函數(shù)值和拋物線函數(shù)值的差．而RP的長(zhǎng)實(shí)際是R點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)SR=2RP可得出一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)t的方程，據(jù)此可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)t．然后代入SR的表達(dá)式即可求出SR的長(zhǎng)．
（3）可用t表示出BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)D，P的坐標(biāo)用t表示出R到BD的距離，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出△BRQ的面積表達(dá)式，根據(jù)其面積為15可求出t的值．

解答：解：（1）由題意知點(diǎn)A（-2，2）在y=ax²的圖象上，又在y=x+b的圖象上
所以得2=a（-2）²和2=-2+b，
∴a=

1

2

，b=4．
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+4．
二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²．
由

y=x+4 y= 1 2 x2

，
解得

x=-2 y=2

或

x=4 y=8

，
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，8）．

（2）因過(guò)點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線為x=t，

x=t y=x+4

得

x=t y=t+4

，
所以點(diǎn)S的坐標(biāo)（t，t+4）．
由

x=t y= 1 2 x2

得

x=t y= 1 2 t2

，
所以點(diǎn)R的坐標(biāo)（t，

1

2

t²）．
所以SR=t+4-

1

2

t²，RP=

1

2

t²．
由SR=2RP得t+4-

1

2

t²=2×

1

2

t²，
解得t=-

4

3

或t=2．
因點(diǎn)P（t，0）為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，
所以-2≤t≤4，
所以t=-

4

3

或t=2
當(dāng)t=2時(shí)，SR=2+4-

1

2

×2²=4
所以線段SR的長(zhǎng)為

16

9

或4．

（3）存在符合題意的t．
因BQ=8-（t+3）=5-t，點(diǎn)R到直線BD的距離為4-t，
所以S_△BRQ=

1

2

（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因?yàn)?2≤t≤4，
所以t=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．