Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點．將△ABC繞點A順時針旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如圖②）．

（1）探究DB′與EC′的數量關系，并給予證明；

（2）當DB′∥AE時，求此時旋轉角α的度數；

（3）如圖③，在旋轉過程中，設AC′與DE所在直線交于點P，當△ADP成為等腰三角形時，求此時的旋轉角α的度數．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）DB′=EC′；（2）60°；（3）

【解析】

（1）根據SAS推出△B′AD≌△C′AE，再根據全等三角形的性質推出即可．
（2）根據平行線性質得出∠B′DA=∠DAE=90°，求出∠EC′A=30°，根據三角形內角和定理求出即可．
（3）分為兩種情況，第一、P在DE上時，AP=AD，AP=DP，DP=AD，根據等腰三角形性質和三角形內角和定理求出即可，第二、P在ED的延長線時，AP=DP，求出∠PAD即可．

（1）DB′=EC′，
證明：如圖②，
∵AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點，
∴AD=AE，
∵∠B′AC′=∠DAE=90°，
∴∠B′AD=∠C′AE=90°-∠DAC′，
在△B′AD和△C′AE中，
，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′．
（2）解：∵DB′∥AE，
∴∠ADB′=∠EAD=90°
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′=∠ADB′，
∴∠AEC′=90°，
即△AEC′為直角三角形，
又∵AE=AC=AC′，
∴∠EC′A=30°，

∴α=90°-30°=60°；
（3）解：分為兩種情況：
第一種情況：當P在DE上，①當AP=DP時，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠ADP=45°，
∴α=90°-45°=45°；
②當AD=AP時，此時P和E重合，即α=0°；
③當AD=DP時，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠DPA=（180°-∠ADP）=×（180°-45°）=67.5°，
∴α=90°-67.5°=22.5°；
第二種情況：當P點在ED延長線時，∵∠ADP=180°-45°=135°，
∴此時只能AD=AP，
∴∠APD=∠PAD=∠ADE=22.5°，
∴α=90°+22.5°=112.5°．