Question

2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)．
（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t如何變化？請(qǐng)寫(xiě)出S關(guān)于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍．
（2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，△PBQ的面積為8cm²？
（3）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，PQ有最小值，并求這個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，可設(shè)P、Q經(jīng)過(guò)t秒，使△PBQ的面積為8cm²，則PB=6-t，BQ=2t，根據(jù)三角形面積的計(jì)算公式，S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP×BQ，列出表達(dá)式，解答出即可；
（2）把S_△PBQ=8代入求得相應(yīng)的t的值即可；
（3）可設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，PQ有最小值，則PB=6-t，BQ=2t，根據(jù)勾股定理，可得PQ²=BP²+BQ²，代入整理即可求出其最小值；

解答 解：（1）設(shè)P、Q經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△PBQ的面積為8cm²，
則PB=6-t，BQ=2t，
∵∠B=90°，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP×BQ=$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=-t²+6t，即S=-t²+6t（0≤t≤6）；

（2）由（1）得到S=-t²+6t．
當(dāng)S=8時(shí)，-t²+6t=8，
解得，t₁=2，t₂=4，
∴當(dāng)P、Q經(jīng)過(guò)2或4秒時(shí)，△PBQ的面積為8cm²；

（2）設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，PQ有最小值，
∴PQ²=（6-t）²+（2t）²，
整理得，PQ²=5（t-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{144}{5}$，
∴當(dāng)t=$\frac{6}{5}$時(shí)，PQ有最小值為：$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)及其最值，根據(jù)題意，正確表示出邊長(zhǎng)及配方法求出最值，是解答本題的關(guān)鍵．