Question

9．預(yù)備知識(shí)：（1）線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{2}$）．
①設(shè)A（1，2），B（5，0），點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，1）．
②設(shè)線段CD的中點(diǎn)為點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（3，2），若端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，3），則端點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-1）．
（2）如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：S_{四邊形ABCD}=S_△ABF．（S表示面積）

問題探究：如圖2，在已知銳角∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P任意作一條直MN，分別交射線OA，OB于點(diǎn)M、N將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，△MON的面積存在最小值，請(qǐng)問當(dāng)直線MN在什么位置時(shí)，△MON的面積最小，并說(shuō)明理由．
結(jié)論應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在第一象限，且OA=3、AB=4、OB=5，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），過點(diǎn)P的直線l分別交OB、AB于點(diǎn)M、N，求三角形BMN面積的最小值．

Answer 1

分析 預(yù)備知識(shí)：（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE就可以得出結(jié)論；
問題探究：根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小，過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；
結(jié)論應(yīng)用：如圖3，由問題探究當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S_△MBN最小，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠OAB=90°，求得AB⊥x軸，得到N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，設(shè)M（a，b），根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到a=1，過M作MC⊥OA于C，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CM=$\frac{4}{3}$，得到AN=$\frac{2}{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：預(yù)備知識(shí)：（1）①∵A（1，2），B（5，0），點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，
∴M（$\frac{1+5}{2}$，$\frac{2+0}{2}$），即M（3，1），
故答案為：（3，1）；
②設(shè)D（x，y），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：$\frac{7+x}{2}$=3，$\frac{3+y}{2}$=2，
∴x=-1，y=-1，
∴D（-1，-1）；
故答案為：（-1，-1）；

（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
在△ADE與△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=FCE}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCE}+S_△ADE=S_{四邊形ABCE}+S_△FCE=S_△ABF；

問題探究：
當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S_△MON最小，
如圖2，過點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F，設(shè)PF＜PE，過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G，
由預(yù)備知識(shí)（2）可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S_{四邊形MOFG}=S_△MON．                 
∵S_{四邊形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S_△MON最��；

結(jié)論應(yīng)用：如圖3，由問題探究當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S_△MBN最小，
∵OA=3、AB=4、OB=5，
∴OA²+AB²=OB²，
∴∠OAB=90°，
∴AB⊥x軸，
∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
設(shè)M（a，b），
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），
∴$\frac{a+3}{2}$=2，
∴a=1，
過M作MC⊥OA于C，
∴OC=1，
∴MC∥AB，
∴△OCM∽△OAB，
∴$\frac{CM}{AB}=\frac{OC}{OA}$，即$\frac{CM}{4}=\frac{1}{3}$，
∴CM=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{CM+AN}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴AN=$\frac{2}{3}$，
∴S_△MBN=S_{四邊形ABMC}-S_{四邊形ANMC}=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{3}$+4）×（3-1）-$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$）×（3-1）=$\frac{10}{3}$，
∴三角形BMN面積的最小值是$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的逆定理的運(yùn)用，四邊形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)建立數(shù)學(xué)模型解答是關(guān)鍵．