Question

已知拋物線y=x²-2x+m-1與x軸只有一個交點(diǎn)，且與y軸交于A點(diǎn)，如圖，設(shè)它的頂點(diǎn)為B．
（1）求m的值；
（2）點(diǎn)C在拋物線上，若△ABC是直角三角形，直接寫出C的坐標(biāo)：______．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)，說明△=0，依此得到關(guān)于m的方程，求得m的值；
（2）若△ABC是直角三角形，存在三種情況：
①∠ABC=90°，則C點(diǎn)必為直線BC與拋物線的交點(diǎn)，可先求出直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
②∠BAC=90°，則C點(diǎn)必為直線AC與拋物線的交點(diǎn)，方法同①；
③∠ACB=90°，以AB為直徑作圓，那么C點(diǎn)（除了A、B點(diǎn)外）即為圓與拋物線的交點(diǎn)．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)，
∴△=（-2）²-4（m-1）=0，
解得m=2．
故m的值為2；

（2）∵拋物線的解析式是y=x²-2x+1，
∴A（0，1），B（1，0），
∴AB的解析式為y=-x+1．
①∠ABC=90°，BC的解析式為y=x-1，則有，解得（不合題意舍去），，所以C的坐標(biāo)為（2，1）；
②∠BAC=90°，AC的解析式為y=x+1，則有，解得（不合題意舍去），，所以C的坐標(biāo)為（3，4）；
③∠ACB=90°，以AB為直徑作圓，除了A、B點(diǎn)外，圓與拋物線的無交點(diǎn)．
綜上可知C的坐標(biāo)為：（2，1）或（3，4）．
故答案為：（2，1）或（3，4）．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識．要注意的是（2）題中，由于直角三角形的直角頂點(diǎn)沒有確定，因此要分類討論，以免漏解．