Question

9．如圖，已知函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與函數(shù)y=x的圖象交于點M，點A的坐標為（6，0），點M的橫坐標為2，過點P（a，0），作x軸的垂線，分別交函數(shù)y=kx+b和y=x的圖象于點C、D．
（1）求函數(shù)y=kx+b的表達式；
（2）若點M是線段OD的中點，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由點A的橫坐標利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可找出點M的坐標，結(jié)合點A的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的表達式；
（2）由PD⊥x軸可得出PC∥OB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠BOM=∠CDM，結(jié)合點M是線段OD的中點以及對頂角相等即可證出△MBO≌△MCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出OB=DC，由直線AB的解析式可得出OB的長度，再由點P的坐標即可得出點C、D的坐標，根據(jù)OB=DC即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求出a值．

解答 解：（1）∵點M的橫坐標為2，點M在直線y=x上，
∴y=2，
∴點M的坐標為（2，2）．
把M（2，2）、A（6，0）代入到y(tǒng)=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)的表達式為y=-$\frac{1}{2}$x+3．
（2）∵PD⊥x軸，
∴PC∥OB，
∴∠BOM=∠CDM．
∵點M是線段OD的中點，
∴MO=MD．
在△MBO和△MCD中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠BOM=∠CDM}\\{MO=MD}\\{∠BMO=∠CMD}\end{array}\right.$，
∴△MBO≌△MCD（ASA），
∴OB=DC．
當x=0時，y=-$\frac{1}{2}$x+3=3，
∴OB=3，
∴DC=3．
當x=a時，y=-$\frac{1}{2}$x+3=-$\frac{1}{2}$a+3，y=x=a，
∴DC=a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=$\frac{3}{2}$a-3=3，
∴a=4．

點評 本題考查了兩條直線相交或平行的問題、平行線的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點M的坐標；（2）找出關(guān)于a的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．